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    求证：四个连续整数的乘积与1的和必是一个完全平方数．

    答案：
    解析：

    　　证明：设四个连续的整数依次为m，m＋1，m＋2，m＋3

    　　则m(m＋1)(m＋2)(m＋3)＋1

    　　＝[(m＋3)][(m＋1)(m＋2)]＋1

    　　＝(m2＋3m)[(m2＋3m)＋2]＋1

    　　＝(m2＋3m)2＋2(m2＋3m)＋1

    　　＝(m2＋3m＋1)2

    　　又m是整数，∴m2＋3m＋1是整数．

    　　故m(m＋1)(m＋2)(m＋3)＋1＝(m2＋3m＋1)2是一完全平方数．


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    科目：初中数学 来源： 题型：

    我们已经知道了一些特殊的勾股数，如三个连续整数中的勾股数：3、4、5；三个连续的偶数中的勾股数6、8、10；由此发现勾股数的正整数倍仍然是勾股数．
    （1）如果a、b、c是一组勾股数，即满足a2+b2=c2，求证：ka、kb、kc（k为正整数）也是一组勾股数．
    （2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，如
    ①公式a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2（m、n为整数，m＞n，m＞1）
    ②世界上第一次给出的勾股数的公式，被收集在《九章算术》中a=
    1
    2
    (m2-n2)    ，b=mn，c=
    1
    2
    (m2+n2)    （m、n为正整数，m＞n）
    ③公元前427-公元前347，由柏拉图提出的公式a=n2-1，b=2n，c=n2+1（n＞1，且n为整数）
    ④毕达哥拉斯学派提出的公式a=2n+1，b=2n2+2n，c=2n2+2n+1（n为正整数），请你在上述的四个公式中选择一种加以证明，满足公式的a、b、c是一组勾股数
    （3）请根据你在（2）中所选的公式写出一组勾股数．

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    科目：初中数学 来源：数学教研室 题型：044

    求证：四个连续自然数的积与1的和，必是某一个整数的平方。

     

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    科目：初中数学 来源：黄冈难点课课练　　七年级数学下册(北师大版) 题型：047

    求证：四个连续整数的积加1是某个整数的平方．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    我们已经知道了一些特殊的勾股数，如三个连续整数中的勾股数：3、4、5；三个连续的偶数中的勾股数6、8、10；由此发现勾股数的正整数倍仍然是勾股数．
    （1）如果a、b、c是一组勾股数，即满足a2+b2=c2，求证：ka、kb、kc（k为正整数）也是一组勾股数．
    （2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，如
    ①公式a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2（m、n为整数，m＞n，m＞1）
    ②世界上第一次给出的勾股数的公式，被收集在《九章算术》中数学公式，b=mn，数学公式（m、n为正整数，m＞n）
    ③公元前427-公元前347，由柏拉图提出的公式a=n2-1，b=2n，c=n2+1（n＞1，且n为整数）
    ④毕达哥拉斯学派提出的公式a=2n+1，b=2n2+2n，c=2n2+2n+1（n为正整数），请你在上述的四个公式中选择一种加以证明，满足公式的a、b、c是一组勾股数
    （3）请根据你在（2）中所选的公式写出一组勾股数．

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