Question

已知一元二次方程x²+bx+c=0的一个实根是另一个实根的2倍，以下结论正确的有________
①b²-4ac≥0；②b≤0；③c≥0；④2b²=9c．

Answer 1

①③④
分析：由方程有实数根得到根的判别式大于等于0，确定出选项①正确；分别设出两根为x₁，x₂，利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，由一根为另一根的2倍，得到3x₂=-b，2x₂²=c，可得出c为非负数，故选项③正确；而b的值不确定，故选项②错误；消去x₂，得到b与c的关系式，即可对选项④作出判断．
解答：设一元二次方程x²+bx+c=0的两根分别为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-b，x₁x₂=c，且x₁=2x₂，b²-4ac≥0，
∴将x₁=2x₂代入两式得：3x₂=-b，2x₂²=c，
∴c≥0，故选项③正确；b的值不确定，故选项②错误；
∴消去x₂得：b²=c，即2b²=9c，故选项④正确；
则正确的结论为①③④．
故答案为：①③④
点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax²+bx+c=0，当b²-4ac≥0时，方程有解分别设为x₁，x₂，则有x₁+x₂=-，x₁x₂=．