Question

已知∠AOB=30°，点P在∠AOB的内部，OP=a，若OA上有一动点M，OB上有一动点N，则△PMN的最小周长为______．（结果用含a的式子表示）

Answer 1

作P关于直线OA的对称点C，作P关于直线OB的对称点D，连接CD，交AB于M，交OB于N，
则此时△PMN的周长最小，
连接OC，OD，
∵P关于直线OA的对称点C，P关于直线OB的对称点D，
∴CM=PM，PN=ND，∠COE=∠POE，∠POF=∠DOF，OC=OP=OD=a，
∵∠POM+∠PON=∠AOB=30°，
∴∠COD=∠COE+∠POE+∠DOF+∠POF=30°+30°=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=OD=a，
即△PMN的周长的最小值是PM+MN+PN=CM+MN+DN=CD=a，
故答案为：a．