Question

如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，3）B（-2，0），C（m，0），其中m＞0．以OB，OC为直径的圆分别交AB于点E，交AC于点F，连接EF．
（1）求证：△AFE∽△ABC；
（2）是否存在m的值，使得△AEF是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；
（3）观察当点C在x轴上移动时，点F移动变化的情况．试求点C₁（，0）移动到点C₂（3，0）点F移动的行程．

Answer 1

（1）证明：∵AO是两圆内的公切线，
∴AO²=AE•AB=AF•AC，
∴=
又∵∠FAE=∠BAC
∴△AFE∽△ABC；

（2）解：∵△AFE∽△ABC，
∴==，
当AF=AE，即AB=AC时，OC=OB
∴m=2，
当AE=FE，即AB=BC时，=2+m，
∴m=-2
当AF=FE，即AC=BC时，9+m²=（2+m）²，
解得m=
∴m的值为2或-2或；

（3）解：∠AFO始终为直角，且OA为定值
∴OA=3，OC₁=，
∴tan∠OAC₁=，
∴∠OAC₁=30°，
同理可得∠OAC₂=60°
∴∠C₁AC₂=30°
∴点F移动的行程为 ．
分析：（1）利用切线长定理，得到相应线段成比例，再加上公共角相等，可得到两三角形相似；
（2）按边相等的不同情况讨论；
（3）按CO为直径，则∠OFC=90°，可得到∠AFO=90°，并且OA为定值，即可得到点F移动的行程为以OA的直径上的一段弧长．
点评：本题用到的知识点为：对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似．直径所对的圆周角是90°以及三角函数值等．需注意探索图形变化过程中运用数学思想方法的能力，如变与不变的辩证思想、转化思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．