Question

如图1，一辆汽车的背面，有一种特殊形状的刮雨器，忽略刮雨器的宽度可抽象为一条折线OAB，如图2所示，量得连杆OA长为10 cm，雨刮杆AB长为48 cm，∠OAB＝120°．若启动一次刮雨器，雨刮杆AB正好扫到水平线CD的位置，如图3所示．

(1)求雨刮杆AB旋转的最大角度及O、B两点之间的距离；(结果精确到0.01)

(2)求雨刮杆AB扫过的最大面积．(结果保留π的整数倍)

(参考数据：sin60°＝，cos60°＝，tan60°＝，≈26.851，可使用科学计算器)

Answer 1

答案：
解析：

[答案]解：(1)雨刮杆AB旋转的最大角度为180°． 　　连接OB，过O点作AB的垂线交BA的延长线于EH， 　　∵∠OAB＝120°， 　　∴∠OAE＝60° 　　在Rt△OAE中， 　　∵∠OAE＝60°，OA＝10， 　　∴sin∠OAE＝＝， 　　∴OE＝5， 　　∴AE＝5． 　　∴EB＝AE＋AB＝53， 　　在Rt△OEB中， 　　∵OE＝5，EB＝53， 　　∴OB＝＝＝2≈53.70； 　　(2)∵雨刮杆AB旋转180°得到CD，即△OCD与△OAB关于点O中心对称， 　　∴△BAO≌△OCD，∴S△BAO＝S△OCD， 　　　∴雨刮杆AB扫过的最大面积S＝π(OB2－OA2) ＝1392π． 　　[考点解剖]本题考查的是解直角三角形的应用，以及扇形面积的求法，难点是考生缺乏生活经验，弄不懂题意(提供的实物图也不够清晰，人为造成一定的理解困难)． 　　[解题思路]将实际问题转化为数学问题，(1)AB旋转的最大角度为180°；在△OAB中，已知两边及其夹角，可求出另外两角和一边，只不过它不是直角三角形，需要转化为直角三角形来求解，由∠OAB＝120°想到作AB边上的高，得到一个含60°角的Rt△OAE和一个非特殊角的Rt△OEB．在Rt△OAE中，已知∠OAE＝60°，斜边OA＝10，可求出OE、AE的长，进而求得Rt△OEB中EB的长，再由勾股定理求出斜边OB的长；(2)雨刮杆AB扫过的最大面积就是一个半圆环的面积(以OB、OA为半径的半圆面积之差)． 　　[解答过程]略． 　　[方法规律]将斜三角形转化为直角三角形求解．在直角三角形中，已知两边或一边一角都可求出其余的量． 　　[关键词]刮雨器　三角函数　解直角三角形　中心对称　扇形的面积