Question

9．如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=6，AB=7，BC=8，点P是AB上一个动点．
（1）当AP=3时，△DAP与△CBP相似吗？请说明理由．
（2）求PD+PC的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知∠A=∠B=90°，AP=3，PB=4，故此$\frac{AP}{AD}=\frac{BP}{BC}=\frac{1}{2}$，从而可证明△DAP与△CBP相似；
（2）作点D关于AB的对称点D′，连接D′C交BA于点P．过点D′作D′E⊥BC，垂足为E．依据勾股定理求得D′C的长即可．

解答 解：（1）∵∠ABC=90°，AD∥BC，
∴∠BAD=90°．
∴∠A=∠B=90°．
∵AP=3，AB=7，
∴PB=4．
∴$\frac{AP}{AD}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$\frac{PB}{BC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$．
∴$\frac{AP}{AD}=\frac{BP}{BC}$．
∴△DAP∽△CBP．
（2）如图所示：点D关于AB的对称点D′，连接D′C交BA于点P，过点D′作D′E⊥BC，垂足为E．

∵点D与点D′关于AB对称，
∴PD=D′P．
∴PD+PC=D′P+PC=D′C．
在Rt△D′EC中，由勾股定理得：D′C=$\sqrt{D′{E}^{2}+E{C}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}+1{4}^{2}}$=7$\sqrt{5}$．
∴PD+PC的最小值为7$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查的相似三角形的判定、轴对称最短路径问题，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．