Question

已知等边△ABC和三角形内一点P，设点P到△ABC三边的距离分别为h₁、h₂、h₃，△ABC的高为h。
（1）请写出h与h₁、h₂、h₃的关系式，并说明理由；
（2）若点P在等边△ABC的边上，仍有上述关系吗？
（3）若点P在三角形外，仍有上述关系吗？若有，请你证明，若没有，请你写出它们新的关系式，并给予证明。

Answer 1

解：（1）连接PA，PB，PC，则S△ABC=S△PAC+S△PBC+S△PAB， ∴BCh=ABh1+ACh2+BCh3， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC， ∴h=h1+h2+h3； （2）仍有h=h1+h2+h3； 理由：如图：设P在AC上，则h2=0， 连接PB，则S△ABC=S△PBC+S△PAB， ∴BCh=ABh1+BCh3， ∵△ABC是等边三角形，AB=BC=AC， ∴h=h1+h3； 即h=h1+h2+h3； （3）h＜h1+h2+h3，连接PA，PB，PC， 则S△ABC＜S△PAC+S△PBC+S△PAB， ∴BCh＜ABh1+ACh2+BCh3， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC， ∴h＜h1+h2+h3。