Question

已知关于x的方程（k+1）x²+（3k-1）x+2k-2=0．
（1）讨论此方程根的情况；
（2）若方程有两个整数根，求正整数k的值．

Answer 1

解：（1）当k=-1时，方程-4x-4=0为一元一次方程，此方程有一个实数根；
当k≠-1时，方程（k+1）x²+（3k-1）x+2k-2=0是一元二次方程，
△=（3k-1）²-4（k+1）（2k-2）=（k-3）²．
∵（k-3）²≥0，即△≥0，
∴k为除-1外的任意实数时，此方程总有两个实数根．
综上，无论k取任意实数，方程总有实数根；

（2）∵方程（k+1）x²+（3k-1）x+2k-2=0中a=k+1，b=3k-1，c=2k-2，
∴x=，
∴x₁=-1，x₂=-2，
∵方程的两个根是整数根，且k为正整数，
∴当k=1时，方程的两根为-1，0；
当k=3时，方程的两根为-1，-1．
∴k=1，3．
分析：（1）由于k的值不能确定，故应分k+1=0和k+1≠0两种情况进行分类讨论；
（2）先根据求根公式用k表示出x的值，再根据方程有两个整数根，求出正整数k的值即可．
点评：本题考查的是根的判别式，在解答（1）时要注意分类讨论，不要漏解．