Question

在直角坐标系中，二次函数y=-x²+^x+n-5的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，其中点A在点B的左边，若∠ACB=90°，OC＞OA且+=．
（1）求△ABC的面积及这个二次函数的具体表达式；
（2）试设计满足下述条件的一个方案（说明理由）：保持图象的形状大小不变，使以图象与坐标轴的3个交点为顶点的三角形的面积是△ABC的面积的一半．

Answer 1

解：
（1）设点A（a，0），B（b，0），C（0，c）其中（a＜0，b＞0，c＞0），
由条件得，c=n-5，ab=-2（n-5）．
在Rt△ABC中，∵CO⊥AB，有=，
∴CO²=AO•BO，
∴（n-5）²=-ab，
故（n-5）²=2（n-5），
解得n=7或n=5（舍去），
从而c=2，
因为+=，=，
于是，+=，
解得a=-1或a=-4，
因OC＞OA，
故舍去a=-4，
由a=-1，求得b=4，
故S_△ABC=•OC•AB=5，
又因为点A（-1，0）在抛物线上，
所以把x=-1，y=0代入y=-x²+x+2，得m=1，
所以y=-x²+x+2；

（2）参考方案：保持图象的张口和顶点的纵坐标不变，保持图象的对称轴与y轴平行，平移图象，使图象与y轴的交点C′坐标为（0，1），
则这个图象为所求，理由如下：由y=-x²+x+2=-（x-）²+，
设移动后的抛物线为y=-（x-k）²+，则这图象的形式、大小保持不变，
又设这图象过点C′（0，1），把x=0，y=1代入上式，
求得k=±，
所求的抛物线为y=-（x-）²+①或y=-（x+）²+②
设①与x轴的交点为A′，B′，其横坐标分别为x₁，x₂（x₁≤x₂），
则x₁，x₂为方程-（x-）²⁺=0的两根，
解这个方程得x₁=-，x₂=+，
∴|x₁-x₂|=5，所以A′B′=5，
∴S_{△A′B′C′}=S_△ABC，同理对于②也成立．
分析：（1）设出ABC三点的坐标，用n表示出ab，c；由勾股定理可得答案；
（2）保持图象的张口和顶点的纵坐标不变，保持图象的对称轴与y轴平行，平移图象，使图象与y轴的交点C′坐标为（0，1），则这个图象为所求．
点评：本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力．