Question

已知抛物线y=x²+2（k+1）x-k与x轴有两个交点，且这两个交点分别在直线x=1的两侧，则k的取值范围是________．

Answer 1

k＜-3
分析：根据二次函数y=x²+2（k+1）x-k的图象与x轴有两个交点可以得到其判别式是正数，由此得到关于k的不等式，解不等式即可求出k的取值范围，再根据两个交点分别在直线x=1的两侧求出k的取值范围然后再取k的公共部分．
解答：∵抛物线y=x²+2（k+1）x-k与x轴有两个交点，
∴b²-4ac=[2（k+1）]²-4×1×（-k）=4（k²+3k+1）＞0，
解得：k＞或k＜，
∵两个交点分别在直线x=1的两侧，
∴可设x₁＜1，x₂＞1，
即x₁-1＜0，x₂-1＞0，
∴（x₁-1）•（x₂-1）＜0，
即（x₁x₂）-（x₁+x₂）+1＜0，
由解析式y=x²+2（k+1）x-k可得x₁x₂=-k，x₁+x₂=-2（k+1），
∴（x₁x₂）-（x₁+x₂）+1=k+3＜0，
解得k＜-3；
所以k的取值范围是k＜-3．
点评：此题考查了抛物线与x轴交点个数与其判别式的关系，也考查了一元二次方程的根与系数的关系，其中解题时利用不等式的巧妙变形，可以快速解不等式，这也是解不等式经常采用的方法．