Question

如图所示，等腰△ABC中，P为底边BC上任意一点，过P作两腰的平行线分别与AB、AC相交于Q、R两点，又P′是P关于直线RQ的对称点．证明：△P′QB∽△P′RC．

Answer 1

解：如图，连P′B，P′C，P′Q，P′R，P′P，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵PQ∥AC，
∴∠QPB=∠ACB，
∴∠QPB=∠QBC，
∴QP=QB，
又∵P′是P关于直线RQ的对称点，
∴QP=QP′，即QP=QP′=QB，
∴Q点为△P′PB的外心，
同理可得R为△P′PC的外心，
∴∠P′QB=2∠P′PB
=2（180°-∠P′PC）
=360°-2∠P′PC，
由∠P′PR=∠PP′R，∠RPC=∠PCR，
∴∠P′QB=360°-∠P′PC-∠PP′R-∠PCR
=∠P′RC，
∵QP′=QB，RP′=RC，
∴△P′QB∽△P′RC．
分析：连P′B，P′C，P′Q，P′R，P′P，由PQ∥AC，AB=AC，得到QP=QB，再根据对称的性质得到QP=QP′，于是Q点为△P′PB的外心，同理可得R为△P′PC的外心；根据圆周角定理和邻补角得到∠P′QB=2∠P′PB=360°-2∠P′PC，根据由半径组成的三角形为等腰三角形，得到∠P′PR=∠PP′R，∠RPC=∠PCR，则∠P′QB=360°-∠P′PC-∠PP′R-∠PCR=∠P′RC，即可得到两等腰△QPP′和△RP′C相似．
点评：本题考查了等腰三角形相似的判定方法：顶角对应相等的两等腰三角形相似．也考查了对称的性质以及三角形外心的判定与性质．