Question

已知直线和y=-x+m，二次函数y=x²+px+q图象的顶点为M．
（1）若M恰在直线与y=-x+m的交点处，试证明：无论m取何实数值，二次函数y=x²+px+q的图象与直线y=-x+m总有两个不同的交点；
（2）在（1）的条件下，若直线y=-x+m过点D（0，-3），求二次函数y=x²+px+q的表达式；
（3）在（2）的条件下，若二次函数y=x²+px+q的图象与y轴交于点C，与x轴的左交点为A，试在抛物线的对称轴上求点P，使得△PAC为等腰三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知直线和y=-x+m，列出方程求出x，y的等量关系式即可求出点M的坐标．把M点坐标代入二次函数，求出△＞0．故无论m为何实数值，二次函数与直线总有两个不同的交点．
（2）已知直线y=-x+m过点D，求出M的坐标．
（3）二次函数与y轴交点为C，与x轴的左交点为点A．分情况解出P点坐标．
解答：解：（1）由
得
即交点M坐标为（）（1分）
此时二次函数为③
由②，③联立，消去y，有（2分）

=
=1＞0（3分）
∴无论m为何实数值，二次函数y=x²+px+q的图象与直线y=-x+m总有两个不同的交点．（4分）

（2）∵直线y=-x+m过点D（0，-3），
∴-3=0+m
∴m=-3
∴M点坐标为（-2，-1）（5分）
∴二次函数为y=（x+2）²-1=x²+4x+3（6分）

（3）二次函数y=x²+4x+3与y轴交点C为（0，3），与x轴的左交点A为（-3，0）（7分）
①当P₁A=P₁C时，可得P₁坐标为（-2，2）（8分）
②当AP₂=AC时，可得P₂坐标为（-2，）或（-2，）（9分）
③当CP₃=AC时，可得P₃坐标为（-2，）或（-2，）（10分）
综上得，当P为（-2，2），（-2，），（-2，），（-2，），
（-2，）时，△PAC为等腰三角形．（10分）
点评：本题考查的是二次函数的综合运用以及等腰三角形的性质，难度较大．