Question

在△ABC中，AB=AC，点O是△ABC的外心，连接AO并延长交BC于D，交△ABC的外接圆于E，过点B作⊙O的切线交AO的延长线于Q，设OQ=，BQ=3。

（1）求⊙O的半径；
（2）若DE=，求四边形ACEB的周长。

Answer 1

解：（1）连接OB， ∵BQ切⊙O 于B， ∴OB⊥BQ， 在Rt△OBQ中，OQ=，BQ=3 ∴OB= 即⊙O的半径是；
（2）延长BO交AC于F， ∵AB=BC，则， ∴BF⊥AC 又∵AE是⊙O的直径， ∴∠ACE=∠ABE=90°， ∴BF∥CE （另解：∠DBF=∠OBA=∠OAB=∠DCE） ∴△BOD∽△CED  ∴ ∴CE==1 ∴在Rt△ACE中，AE=3，CE=1， 则AC=2 又∵O是AE的中点， ∴OF=CE=， 则BF=2 在Rt△ABF中，AF=AC= ∴AB= 在Rt△ABE中，BE= （如用△ABQ∽△BEQ解得AB、BE，计算正确也得分） 故：四边形AECB的周长是：。