练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，抛物线y=
    1
    2
    x2+bx+c    与直线l：y=
    3
    4
    x-1    交于点A（4，2）、B（0，-1）．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）点D在直线l下方的抛物线上，过点D作DE∥y轴交l于E、作DF⊥l于F，设点D的横坐标为t．
    ①用含t的代数式表示DE的长；
    ②设Rt△DEF的周长为p，求p与t的函数关系式，并求p的最大值及此时点D的坐标；
    （3）点M在抛物线上，点N在x轴上，若△BMN是以M为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点M的坐标．
    分析：（1）直接将A、B两点的坐标代入抛物线的解析式中，通过解方程组即可得出待定系数的值．
    （2）①首先用t表示出E、D两点的纵坐标，它们差的绝对值即为DE的长度表达式；
    ②此题若求△DEF的三边长难度比较大，所以需要转换一下解题思路；观察图形，若设直线AB与x轴的交点为G，显然△GBO和△DEF相似，所以先求出△GBO的周长，然后利用相似三角形的周长比等于对应边的比来列式求解．
    （3）若表达出△BMN的三边长，然后根据等腰直角三角形的腰相等和勾股定理来列方程组，这样解答的计算量会非常大，所以可以从几何角度入手来降低解题难度；首先△BMN是以M为直角顶点的等腰直角爱三角形，那么可以根据腰相等来构建全等三角形解答；作出点M在y轴左侧的图形（无论点M在哪里，解题思路相同），过M作y轴的垂线，交x轴于R，过B作MR的垂线，设垂足为S，那么通过证△MNR≌△BMS，得出MR=BS=OR，即点M横纵坐标的绝对值相同，再联立抛物线的解析式即可得出点M的坐标．
    解答：解：（1）由题意，知：
    1
    2
    ×42+4b+c=2
    c=-1
    ，
    解得
    b=-
    5
    4
    c=-1

    故抛物线的解析式为y=
    1
    2
    x2-
    5
    4
    x-1．

    （2）①D在y=
    1
    2
    x2-
    5
    4
    x-1上，可设D（t，
    1
    2
    t2-
    5
    4
    t-1），E（t，
    3
    4
    t-1）；
    则DE=
    3
    4
    t-1-（
    1
    2
    t2-
    5
    4
    t-1）=-
    1
    2
    t2+2t；
    ②∵在y=
    3
    4
    x-1中，令y=0得x=
    4
    3
    ，
    ∴直线AB与x轴交于G（
    4
    3
    ，0），
    ∴BG=
    		12+(
    4
    3
    )    2
    =
    5
    3
    ，
    ∴△OBG的周长为1+
    4
    3
    +
    5
    3
    =4；
    ∵DE∥y轴，
    ∴△GBO∽△DEF，
    ∴
    p
    4
    =
    -
    1
    2
    t2+2t
    5
    3

    ∴p=-
    6
    5
    t2+
    24
    5
    t=-
    6
    5
    （t-2）2+
    24
    5
    ，
    ∴当t=2时，pmax=
    24
    5
    ，此时D（2，-
    3
    2
    ）．

    （3）以点M在y轴左侧为例，如右图；
    过M作x轴的垂线，设垂足为R；若点B作MR的垂线，设垂足为S；
    ∵在△MNR与△BMS中，
    ∠MNR=∠BMS=90°-∠NMR
    MN=BM
    ∠MRN=∠BSM=90°
    ，
    ∴△MNR≌△BMS，
    MR=BS=OR；
    当点M在x轴左侧时，与上相同，所以可设M（a，±a）；
    当点M的坐标为（a，a）时，有：
    1
    2
    a2-
    5
    4
    a-1=a，解得：a=
    9±
    		113
    4
    ；
    当点M的坐标为（a，-a）时，有：
    1
    2
    a2-
    5
    4
    a-1=-a，解得：a=
    1±
    		33
    4
    ；
    综上，点M的坐标为（
    9+
    		113
    4
    ，
    9+
    		113
    4
    ），（
    9-
    		113
    4
    ，
    9-
    		113
    4
    ），（
    1+
    		33
    4
    ，-
    1+
    		33
    4
    ），（
    1-
    		33
    4
    ，-
    1-
    		33
    4
    ）．
    点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、相似三角形以及全等三角形的应用、等腰直角三角形的性质等重要知识点；后面两个小题中，利用几何知识来解是比较简便快捷的方式，体现了数形结合思想的合理应用．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，如果OB=OC=
    1
    2
    OA，那么b的值为（　　）
    A、-2
    B、-1
    C、-
    1
    2
    D、
    1
    2

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：如图，抛物线的顶点为点D，与y轴相交于点A，直线y=ax+3与y轴也交于点A，矩形ABCO的顶点B在精英家教网此抛物线上，矩形面积为12，
    （1）求该抛物线的对称轴；
    （2）⊙P是经过A、B两点的一个动圆，当⊙P与y轴相交，且在y轴上两交点的距离为4时，求圆心P的坐标；
    （3）若线段DO与AB交于点E，以点D、A、E为顶点的三角形是否有可能与以点D、O、A为顶点的三角形相似，如果有可能，请求出点D坐标及抛物线解析式；如果不可能，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网已知：如图，抛物线y=x2+bx+c（b、c为常数）经过原点和E（3，0）．
    （1）求该抛物线所对应的函数关系式；
    （2）设A是该抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C．
    ①当BC=1时，求矩形ABCD的周长；
    ②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值及此时点A的坐标；如果不存在，请说明理由；
    ③当B（
    12
    ，0）时，x轴上是否存在两点P、Q（点P在点Q的左边），使得四边形PQDA是菱形？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，抛物线y=
    12
    (x+1)2-2    与x轴交于A、B两点，P为该抛物线上一点，且满足△PAB的面积等于4，这样的点P有
    3
    3
    个．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，抛物线y=ax2+bx+
    5
    2
    与直线ABy=
    1
    2
    x+
    1
    2
    交于x轴上的一点A，和另一点B（4，n）．点P是抛物线A，B两点间部分上的一个动点（不与点A，B重合），直线PQ与直线AB垂直，交直线AB于点Q，．
    （1）求抛物线的解析式和cos∠BAO的值；
    （2）设点P的横坐标为m用含m的代数式表示线段PQ的长，并求出线段PQ长的最大值；
    （3）点E是抛物线上一点，过点E作EF∥AC，交直线AB与点F，若以E、F、A、C为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点E的坐标．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案