Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连接EP、CP、OP．
（1）BD=DC吗？说明理由；
（2）求∠BOP的度数；
（3）求证：CP是⊙O的切线；
如果你解答这个问题有困难，可以参考如下信息：为了解答这个问题，小明和小强做了认真的探究，然后分别用不同的思路完成了这个题目．在进行小组交流的时候，小明说：“设OP交AC于点G，证△AOG∽△CPG”；小强说：“过点C作CH⊥AB于点H，证四边形CHOP是矩形”．

Answer 1

解：（1）BD=DC．连接AD，
∵AB是直径，∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，∴BD=DC；
（2）∵AD是等腰三角形ABC底边上的中线，
∴∠BAD=∠CAD，
∴=，
∴BD=DE，∴BD=DE=DC，
∴∠DEC=∠DCE，
∵△ABC中，AB=AC，∠A=30°
∴∠DCE=∠ABC=（180°﹣30°）=75°，
∵∠DEC=75°
∴∠EDC=180°﹣75°﹣75°=30°
∵BP∥DE，∴∠PBC=∠EDC=30°，
∴∠ABP=∠ABC﹣∠PBC=75°﹣30°=45°
∵OB=OP，∴∠OBP=∠OPB=45°，∴∠BOP=90°；
（3）证明：设OP交AC于点G，则∠AOG=∠BOP=90°
在Rt△AOG中，∵∠OAG=30°，∴=，
又∵==，∴=，∴=，
又∵∠AGO=∠CGP∴△AOG∽△CPG，
∴∠GPC=∠AOG=90°，∴CP是⊙O的切线）