Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=4，∠A=120^。。 动点P、E、M分别从B、A、D三点同时出发，其中点P沿BA向终点A运动，点E沿AD向终点D运动，点M沿DC向终点C运动，且它们的速度都为每秒2个单位。连结PE、PM、EM，设动点P、E、M运动时间为t（单位：秒），△PEM的面积为S。
（1）判断△PAE与△EDM是否全等，说明理由；
（2）连结BD，求证：△EPM∽△ABD；
（3）求S与t的函数关系式，并求出△PEM的面积的最小值。

Answer 1

解：（1）△PAE≌△EDM，理由如下：根据题意，得BP=AE=DM=2t              ∵AB=AD=DC=4，∴AP=DE=4-2t。              ∵在梯形ABCD中，AB=DC，               ∴∠PAE=∠EDM。               又 AP=DE，AE=DM              ∴△PAE≌△EDM。 （2）证明：∵△PAE≌△EDM，                    ∴PE=EM，∠1=∠2。                    ∵∠3+∠2=∠1+∠BAD，                   ∴∠3=∠BAD。 ∵AB=AD，                   ∴。                  ∴△EPM∽△ABD。 （3）过B点作BF⊥AD，交DA的延长线于F，过P点作PG⊥AD交于G。           在Rt△AFB中，∠4=180°-∠BAD=180°-120°=60°，            ∴BF=AB·sin∠4=4·sin60°=2。           ∴S△ABD=。          在Rt△APG中，PG=AP·sin∠4=（4-2t）·sin60°=（2-t）。           AG=AP·cos∠4=（4-2t）·cos60°=2-t。          ∴GE= AG+AE=2-t+2t=2+t。           ∴          ∵△EPM∽△ABD，          ∴         ∴S△EPM=4·=。          ∴S与t的函数关系式为S=。（0≤t≤2）         ∵S=，>0         ∴当t=1，S有最小值，最小值为。