Question

设P为△ABC内一点，∠APB-∠ACB=∠APC-∠ABC．又设D，E分别是△APB及△APC的内心．证明：AP，BD，CE交于一点．

Answer 1

证明：如图，过P向三边作垂线，垂足分别为R，S，T．
连RS，ST，RT，设BD交AP于M，CE交AP于N．
易知P，R，A，S；P，T，B，R；P，S，C，T分别四点共圆，则
∠APB-∠ACB=∠PAC+∠PBC（三角形外角性质）
=∠PRS+∠PRT（圆周角定理）
=∠SRT．
同理，∠APC-∠ABC=∠RST，
由条件知∠SRT=∠RST，所以RT=ST．
又RT=PBsinB，ST=PCsinC，
所以PBsinB=PCsinC，那么．
由角平分线定理知．
故M，N重合
∴AP，BD，CE交于一点．
分析：首先过P向三边作垂线，垂足分别为R，S，T．连RS，ST，RT，设BD交AP于M，CE交AP于N．
证明P、R、A、S；P、T、B、R；P、S、C、T分别四点共圆．再利用外角性质、圆周角定理∠APB-∠ACB=∠SRT、，∠APC-∠ABC=∠RST．最后根据角平分线的性质，即可求证．
点评：本题考查三角形内切圆与内心、四点共圆．证明线共点可用有关定理（如三角形的3条高线交于一点），或证明第3条直线通过另外两条直线的交点，也可转化成点共线的问题给予证明．