Question

如图，AB是半圆的直径，AB＝8，AP是半圆的弦，弧BP沿AP对折后，圆心O恰好落在弧AP上的点C处，连接BC．

(1)求证：＝＝；

(2)提出一个与点C有关的问题，并进行计算或证明．(根据提出问题的层次给分)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)连接OC，则AC＝OA＝OC． 　　所以△ACO是等边三角形， 　　所以∠COA＝60°． 　　∠BAP＝∠PAC＝∠CAO＝30°． 　　所以在⊙O中，、、的度数均为60°， 　　所以＝＝． 　　(2)第一层次：如：CP∥AB． 　　证明：连接CP，因为∠CPA＝∠PAB＝30°， 　　所以CP∥AB． 　　第二层次：如阴影部分面积为π－4． 　　解：阴影部分面积S＝S扇形AOC－S△AOC＝π－4． 　　第三层次：AP＝BC． 　　证明：连接PB、PC， 　　因为∠CPA＝∠PAB＝30°， 　　所以CP∥AB． 　　又因为＝， 　　所以AC＝PB， 　　所以四边形CABP是等腰梯形， 　　所以AP＝BC．