Question

如图，?ABCD中，E为BC中点，过点E作AB的垂线交AB于点G，交DC的延长线于点H，连接DG．若BC=10，∠GDH=45°，DG=，求CH的长及?ABCD的周长．

Answer 1

解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC．
∵HG⊥AB于点G，
∴∠BGH=∠H=90°．
在△DGH中，∠H=90°，∠GDH=45°，DG=8，
∴DH=GH=8．
∵E为BC中点，BC=10，
∴BE=EC=5．
∵∠BEG=∠CEH，
∴△BEG≌△CEH．
∴GE=HE=GH=4．
在△ECH中，∠H=90°，EC=5，EH=4，
∴CH=3．
∴AB=CD=5．
∴AB+BC+CD+AD=30．
∴?ABCD的周长为30．
分析：根据?ABCD的对边相互平行且相等的性质、平行线的性质推知∠BGH=∠H=90°；通过解等腰直角△DGH求得DH=GH=8，再由全等三角形△BEG≌△CEH的对应边相等知GE=HE=GH=4．
点评：本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．理解平行四边形的对边平行且相等，是解答本题的关键．