Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD，垂足为E，点F在BD上，连接AF、EF．
（1）求证：DA=DE；
（2）如果AF∥CD，求证：四边形ADEF是菱形．
（3）如果∠C=60°，EC=3，求AB的长．

Answer 1

证明：（1）∵BC=CD，
∴∠CDB=∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ADB=∠CDB，
又∵AB⊥AD，BE⊥CD，
∴∠BAD=∠BED=90°，
在△ABD和△EBD中，
∵
∴△ABD≌△EBD（AAS），
∴AD=ED．

（2）∵AF∥CD，∴∠AFD=∠EDF，
∴∠AFD=∠ADF，即得AF=AD，
又∵AD=ED，
∴AF=DE，
∴四边形ADEF是平行四边形，
又∵AD=ED，
∴四边形ADEF是菱形；

（3）∵∠C=60°，EC=3，tan60°==，
∴BE=3，
∵AB=BE，
∴AB=3．
分析：（1）先根据平行的性质得到∠ADB=∠CDB，然后结合BC=CD利用ASA可证得△ABD≌△EBD，继而可得出结论；
（2）根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出结论；
（3）由（1）可知△ABD≌△EBD，求AB的长可转化为求BE的长，在直角三角形BEC中利用锐角三角函数计算即可．
点评：本题考查直角梯形的知识，解答此题的关键是根据平行和直角三角形的性质找出图中的全等的三角形，利用全等三角形的性质解答此题．