Question

已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG。
（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG，问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

              图①                           图②                             图③

Answer 1

解：（1）在Rt△FCD中， ∵G为DF的中点， ∴CG=FD， 同理，在Rt△DEF中，EG=FD， ∴CG=EG；
（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG， 连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点， 在△DAG与△DCG中， ∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG， ∴△DAG≌△DCG， ∴AG=CG， 在△DMG与△FNG中， ∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG， ∴△DMG≌△FNG， ∴MG=NG， 在矩形AENM中，AM=EN， 在Rt△AMG 与Rt△ENG中， ∵AM=EN，MG=NG， ∴△AMG≌△ENG， ∴AG=EG， ∴EG=CG；
（3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG， 其他的结论还有：EG⊥CG。