Question

如图（1），抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，）．［图（2）、图（3）为解答备用图］

（1）　　　　　，点A的坐标为　　　　　　，点B的坐标为　　　　　；

（2）设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积；

（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）在抛物线上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．

 

Answer 1

解：（1），

A（-1，0），

B（3，0）．

（2）如图（1），抛物线的顶点为M（1，-4），连结OM．

         

 

则 △AOC的面积=，△MOC的面积=，

△MOB的面积=6，

∴ 四边形 ABMC的面积

=△AOC的面积+△MOC的面积+△MOB的面积=9．

说明：也可过点M作抛物线的对称轴，将四边形ABMC的面

积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和．

（3）如图（2），设D（m，），连结OD．

 

则 0＜m＜3， ＜0．

且 △AOC的面积=，△DOC的面积=，                  

△DOB的面积=-（），

∴ 四边形 ABDC的面积=△AOC的面积+△DOC的面积+△DOB的面积

=

=．

∴ 存在点D，使四边形ABDC的面积最大为．

（4）有两种情况：

如图（3），过点B作BQ₁⊥BC，交抛物线于点Q₁、交y轴于点E，连接Q₁C．

 

∵ ∠CBO=45°，∴∠EBO=45°，BO=OE=3．

∴ 点E的坐标为（0，3）．

∴ 直线BE的解析式为．

由 解得

∴ 点Q₁的坐标为（-2，5）．

如图14（4），过点C作CF⊥CB，交抛物线于点Q₂、交x轴于点F，连接BQ₂．

∵ ∠CBO=45°，∴∠CFB=45°，OF=OC=3．

∴ 点F的坐标为（-3，0）．

∴ 直线CF的解析式为．

由 解得

∴点Q₂的坐标为（1，-4）．

综上，在抛物线上存在点Q₁（-2，5）、Q₂（1，-4），使△BCQ₁、△BCQ₂是以BC为直角边的直角三角形．

说明：如图14（4），点Q₂即抛物线顶点M，直接证明△BCM为直角三角形