Question

如图，在正方形ABCD中，过B作一直线与CD相交于点E，过A作AF垂直BE于点F，过C作CG垂直BE于点G，在FA上截取FH=FB，再过H作HP垂直AF交AB于P．若CG=3．则△CGE与四边形BFHP的面积之和为______．

Answer 1

∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，即∠CBG+∠ABF=90°，
又CG⊥BE，即∠BGC=90°，
∴∠BCG+∠CBG=90°，
∴∠ABF=∠BCG，
又AF⊥BG，
∴∠AFB=∠BGC=90°，
∴△ABF≌△BCG，
∴AF=BG，BF=CG=FH=3，
又∵FH=BF，
∴AH=FG，设AH=FG=x，
∵PH⊥AF，BF⊥AF，
∴∠AHP=∠AFB=90°，又∠PAH为公共角，
∴△APH∽△ABF，
∴

PH

BF

=

AH

AF

，即PH=

3x

x+3

，
∵FH∥BF，BP不平行FH，
∴四边形BFHP为梯形，其面积为

3( 3x x+3 +3)

2

=

9x

2(x+3)

+

9

2

；
又∵∠BCG+∠ECG=90°，∠ECG+∠BEC=90°，
∴∠BCG=∠BEC，又∠BGC=∠CGE=90°，
∴△BCG∽△CEG，
∴

BG

CG

=

CG

GE

，即GE=

9

x+3

，故Rt△CGE的面积为

1

2

×3×

9

x+3

，
则△CGE与四边形BFHP的面积之和为

9x

2(x+3)

+

9

2

+

27

2(x+3)

=

9(x+3)

2(x+3)

+

9

2

=9．
故答案为：9