Question

11．已知：在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD边AB、BC、DA上，AE=2．
（1）如图1，当四边形EFGH为正方形时，求△GFC的面积；
（2）如图2，当四边形EFGH为菱形时，设BF=x，△GFC的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出函数的定义域．

Answer 1

分析 （1）只要证明△AEH≌△BFE．推出BF=AE=2，由△MGF≌△BFE，推出△MGF≌△AEH，求出FC、GM即可解决问题．
（2）如图2，过点G作GM⊥BC，垂足为M，连接HF，根据S_△GFC=$\frac{1}{2}$FC•GM，计算即可．

解答 解：（1）如图1，过点G作GM⊥BC，垂足为M．
由矩形ABCD可知：∠A=∠B=90°，
由正方形EFGH可知：
∠HEF=90°，EH=EF，
∴∠1+∠2=90°，
又∠1+∠3=90°，
∴∠3=∠2，
∴△AEH≌△BFE．
∴BF=AE=2，
同理可证：△MGF≌△BFE，
∴△MGF≌△AEH，
∴GM=AE=2，
又 FC=BC-BF=12-2=10，
∴S_△GFC=$\frac{1}{2}$FC•GM=$\frac{1}{2}$×10×2=10．

（2）如图2，过点G作GM⊥BC，垂足为M，连接HF．
由矩形ABCD得：AD∥BC，
∴∠AHF=∠HFM，
由菱形EFGH得：EH∥FG，EH=FG，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
又∠A=∠M=90°，EH=FG，
∴△MGF≌△AEH，
∴GM=AE=2，
又 BF=x，∴FC=12-x，
∴S_△GFC=$\frac{1}{2}$FC•GM=$\frac{1}{2}$（12-x）•2=12-x，
即：S=12-x，
定义域：$0≤x≤4\sqrt{7}$．

点评 本题考查正方形的性质、矩形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．