Question

如图，抛物线y=-x²+bx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A（-1，0）．过点A作直线y=x+c与抛物线交于点D，动点P在直线y=x+c上，从点A出发，以每秒个单位长度的速度向点D运动，过点P作直线PQ∥y轴，与抛物线交于点Q，设运动时间为t（s）．
（1）直接写出b，c的值及点D的坐标；
（2）当t=2时，求线段PQ的长；
（3）通过计算说明：t为何值时，线段PQ最长？最大值是多少？
（4）t为何值时，直线PQ把△ABC的面积分成1：3的两部分？

Answer 1

解：（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=-x²+bx+3上，
∴-1-b+3=0，
记得b=2，
∵点A（-1，0）在直线y=x+c上，
∴-1+c=0，
解得c=1，
所以，b=2，c=1，
联立，
解得（为点A坐标），，
所以点D（2，3）；

（2）解：当t=2时，AP=2，
∵直线y=x+1与y轴交点F的坐标为（0，1），
∴OA=OF=1，
∴∠DAB=45°，
∴PE=AE=2，
∴OE=AE-OA=1，
即点Q的横坐标为1，
∴QE=-1²+2×1+3=4，
∴PQ=QE-PE=4-2=2；

（3）AP=t，由（2）知∠DAB=45°，
∴PE=AE=t，
∴点Q的横坐标为t-1，
∴QE=-（t-1）²+2（t-1）+3=-t²+4t，
PQ=QE-PE=-t²+4t-t=-t²+3t=-（t-）²+，
∴当t=时，线段PQ最长，最大值是；

（4）抛物线解析式为y=-x²+2x+3，
令y=0，则-x²+2x+3=0，即x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
令x=0，则y=3，
所以点B（3，0），C（0，3），
①显然，当t=1时，直线PQ与y轴重合，直线PQ把△ABC的面积分成1：3的两部分；
②直线PQ与BC相交时，∵点B（3，0），C（0，3），
∴∠OBC=45°，AB=3-（-1）=3+1=4，
根据（2），AE=AP=×t=t，
所以，BE=4-t，
所以，S_△ABC=×4×3=6，
所以，×（4-t）（4-t）=×6，
整理得，（4-t）²=3，
解得，t₁=4+（在点B右侧，舍去），t₂=4-，
综上所述，t=1或4-．
分析：（1）把点A坐标代入抛物线解析式进行计算即可求出b，代入直线解析式计算即可求出c值，联立抛物线与直线解析式求解即可得到点D的坐标；
（2）根据直线解析式求出直线与y轴的交点F的坐标，再求出AP的长度，然后求出∠DAB=45°，设直线PQ与x轴的交点为E，解直角三角形求出PE、AE的长度，再求出点Q的横坐标，代入抛物线解析式求出QE的长度，根据PQ=QE-PE代入数据进行计算即可得解；
（3）用t表示出PE、AE，再表示出点Q的横坐标，然后代入抛物线解析式表示出QE，再根据PQ=QE-PE整理出关于t的表达式，根据二次函数的最值问题解答即可；
（4）利用抛物线求出点B、C的坐标，根据点A、B的坐标可知当PQ与y轴重合时，直线PQ把△ABC的面积分成1：3的两部分；当直线PQ与BC相交时，先根据点B、C的坐标求出∠OBC=45°并求出△ABC的面积，再用t表示出BE，然后三角形的面积列式计算即可得解．
点评：本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式（包括二次函数解析式，一次函数解析式），联立两函数解析式求交点坐标，二次函数的最大值，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，综合性较强，难度较大，（4）要分情况讨论．