Question

正方形ABCD中，点P是边CD上的一个动点，过点P作PE⊥BP．
（1）如图1，如果PE与BC的延长线交于点E，则有△______∽△BCP；
（2）如图2，如果PE与AD交于点E．
①求证：；
②探索：当点P运动到何处时，△BPE∽△BCP？并说明理由．

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠PCD=∠PCB=90°，
又∵PE⊥BP，
∴∠BPE=90°，
∴∠PBC=∠CPE，
∴Rt△BCP∽Rt△BPE∽Rt△PCE，
故答案为△BPE∽△PCE；

（2）①证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠C=∠D=90°，
又∵PE⊥BP，
∴∠BPE=90°，
∴∠EPD=∠PBC，
∴Rt△PED∽Rt△BPC，
∴=；

②当点P运动到DC的中点时，△BPE∽△BCP．理由如下：
∵点P是DC的中点，
∴PD=PC，
由（2）得PE：PB=PD：BC，
∴PE：PB=PC：BC，
∴PE：PC=PB：BC，
∴Rt△BPE∽Rt△BCP．
分析：（1）根据正方形的性质得∠PCD=∠PCB=90°，而PE⊥BP，则∠BPE=90°，根据同角的余角相等得∠PBC=∠CPE，然后根据直角三角形相似的判定定理即可得到Rt△BCP∽Rt△BPE∽Rt△PCE；
（2）根据正方形的性质得∠C=∠D=90°，而PE⊥BP，则∠BPE=90°，根据同角的余角相等得∠EPD=∠PBC，然后根据直角三角形相似的判定定理即可得到Rt△PED∽Rt△BPC，理由相似三角形的性质即可得到结论；
（3）当点P是DC的中点，则PD=PC，由（2）的结论得到PE：PB=PC：BC，即PE：PC=PB：BC，根据直角三角形相似的判定定理即可得到△BPE∽△BCP．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有一组锐角对应相等的两直角三角形相似；有两组对应边的比相等的两个直角三角形相似；相似三角形的对应边比相等．也考查了正方形的性质．