Question

如图，D为△ABC中线AM的中点，过M作AB、AC边的垂线，垂足分别为P、Q，过P、Q分别作DP、DQ的垂线交于点N．
（1）求证：PN=QN；
（2）求证：MN⊥BC．

Answer 1

证明：（1）连接DN
∵D为△ABC中线AM的中点
∴AD=MD，MB=CM
∵MP⊥AB，MQ⊥AC
∴∠APM=∠AQM=90°
∴△APM、△AMQ是直角三角形
∴PD=AM，QD=AM
∴PD=QD
∴Rt△DPN≌Rt△DQN（HL）
∴NP=PQ；

（2）取BM、CM的中点S、T，连接SP、SN、TQ、TN
∴SP=BM=MC=TQ
∴∠SPN=90°-∠BPS-∠NPM=90°-∠B-∠DPA=90°-∠B-∠BAM=90°-∠AMC=90°-∠DMQ-∠QMT=90°-∠DQM-∠MQT=∠TQN
∴△SPN≌△TQN
∴SN=TN
∵SM=TM
∴NM⊥BC
分析：（1）要证明PN=QN，只有证明这两条线段所在的三角形全等就可以了，连接DN，利用斜边直角边对应相等的两个三角形全等就可以了．
（2）△BPM和△CQM是直角三角形，由条件知道MB=CM，取BM、CM的中点S、T，连接PS、QT可以得到PS=QT，利用角的关系证明∠SPN=∠TQN，再证明△SPN≌△TQN，从而得到NS=NT，利用等腰三角形的三线合一的性质证明MN⊥BC．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质．