Question

已知：如图1，在面积为3的正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD边上的两点，AE⊥BF于点G，且BE=1．
（1）求证：△ABE≌△BCF；
（2）求出△ABE和△BCF重叠部分（即△BEG）的面积；
（3）现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB'E'（如图2），使点E落在CD边
上的点E＇处，问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由．

Answer 1

⑴证明：∵正方形ABCD中，∠ABE=∠BCF=90^。，AB=BC，
∴∠ABF+∠CBF=90^。，
∵AE⊥BF，
∴∠ABF+∠BAE=90^。，
∴∠BAE=∠CBF，
∴△ABE≌△BCF.
⑵解：∵正方形面积为3，
∴AB=，  
在△BGE 与△ABE 中，  
∵∠GBE= ∠BAE,  ∠EGB= ∠EBA=90^。
∴△BGE ∽△ABE                     
∴，又BE=1，
∴AE²=AB²+BE²=3+1=4
∴==.   (用其他方法解答仿上步骤给分).
⑶解：没有变化
∵AB=，BE=1，
∴tan∠BAE=,∠BAE=30°,
∵AB′=AD，∠AB′E′=∠ADE＇=90°,AE′公共，
∴Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′,
∴∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°,
∴AB′与AE在同一直线上，即BF与AB′的交点是G，
设BF 与AE ′的交点为H,
则∠BAG= ∠HAG=30 °, 而∠AGB= ∠AGH=90 °,AG公共，
∴△BAG ≌△HAG,
∴S_{四边形GHE'B'}=S_△AB'E'-S_△AGB=S_△ABE-=S_△BGE
∴△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积没有变化