Question

某自然数恰好等于它的各位数字和的11倍，则这个自然数是    ．

Answer 1

【答案】分析：分类讨论，①这个数为1位数，②这个数为2位数，③这个数为3位数，④这个数为4位数，根据自然数恰好等于它的各位数字和的11倍可得出各位数字的关系，分析即可得出符合题意的数．
解答：解：①如果是1位数，则a=11a，该数为0；
②如果是2位数，则10a+b=11（a+b），10b+a=0，则该数为0，（舍去）；
③如果是3位数，则100a+10b+c=11（a+b+c）
89a=b+10c，
89a≥89，b+10c≤99，
仔细分析可得该数=198；
④如果是4位数，则1000a+100b+10c+d=11（a+b+c+d），
而1000a+100b+10c+d≥1000，11（a+b+c+d）≤11×36=396
所以等式不成立，同样4位以上的数也不成立．
结论是符合要求的数只有0和198．
故答案为：0或198．
点评：此题考查了多元一次不定方程的分析求解，关键在于注意分类讨论这个数是几位数，得出不定方程后，要注意验证不定方程能否成立，这也是本题的难点所在．