Question

如图所示，AB，AC与⊙O相切于点B，C，∠A=50°，点P是圆上异于B，C的一动点，则∠BPC的度数是________．

Answer 1

65°或115°
分析：此题分为两种情况，如图p点的位置有两个，所以∠BPC可能是锐角，也有可能是钝角，分别连接O、C；O、B；B、P₁；B、P₂；C、P₁；C、P₂各点
（1）当∠BPC为锐角，也就是∠BP₁C时，根据AB，AC与⊙O相切，结合已知条件，在△ABC中，即可得出圆心角∠COB的度数，根据同弧所对的圆周角为圆心角的一半，即可得出∠BP₁C的度数（2）如果当∠BPC为钝角，也就是∠BP₂C时，根据⊙O的内接四边形的性质，即可得出∠BP₂C的度数．
解答：分别连接O、C；O、B；B、P₁；B、P₂；C、P₁；C、P₂各点
（1）当∠BPC为锐角，也就是∠BP₁C时：
∵AB，AC与⊙O相切于点B，C两点
∴OC⊥AC，OB⊥AB，
∵∠A=50°，
∴在△ABC中，∠COB=130°，
∵在⊙O中，∠BP₁C为圆周角，
∴∠BP₁C=65°，
（2）如果当∠BPC为钝角，也就是∠BP₂C时
∵四边形BP₁CP₂为⊙O的内接四边形，
∵∠BP₁C=65°，
∴∠BP₂C=115°
点评：本题考查圆的切线性质，在解题过程中还要注意对圆的内接四边形、圆周角、圆心角的有关性质的综合应用