Question

12、已知1999个自然数a₁，a₂，…，a₁₉₉₉满足条件：其中任意两数的和能被它们的差整除．现设n=a₁a₂…a₁₉₉₉，证明：n，n+a₁，n+a₂，…，n+a₁₉₉₉这2000个数仍满足上述条件．

Answer 1

分析：首先通过任意两数的和能被它们的差整除，判定这些自然数的奇偶性，利用奇偶性进一步分析解答即可．

解答：解：因为任意两数的和能被它们的差整除，所以这1999个自然数的奇偶性相同，所以任意两数的和或差为偶数；
由题意知对于1999个自然数a₁，a₂，…，a₁₉₉₉满足条件：a_i-a_j|a_i+a_j（i、j=1、2、3、4…1999且i≠j），
可推出a_i-a_j只有等于2时，才能任意两数的和能被它们的差整除．
因此对于2000个数n，n+a₁，n+a₂，…，n+a₁₉₉₉对于任意一个数与n的差为a_k（k=1，2，3…1999），显然能整除它们的和；
对于任意一个数与其它数的差为a_i-a_j=2，其和为（2n+a_i+a_j），也一定被2整除．
综上所知n，n+a₁，n+a₂，…，n+a₁₉₉₉这2000个数仍满足条件：其中任意两数的和能被它们的差整除．

点评：此题主要利用数的整除性以及数的奇偶性解决问题．