如图，在平面直角坐标系中，直线y=- $数学公式$ x- $数学公式$ 与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax²- $数学公式$ x+c（a≠0）经过A，B，C三点．
（1）求过A，B，C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；
（2）在抛物线上是否存在点P，使△ABP为直角三角形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得△MBF的周长最小？若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵直线y=- $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ 与x轴交于点A，与y轴交于点C
∴点A（-1，0），C（0，- $\text{[math]}$ ）
∵点A，C都在抛物线上，
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴抛物线的解析式为y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$
∴顶点F（1，- $\text{[math]}$ ）．

（2）存在：
p₁（0，- $\text{[math]}$ ），p₂（2，- $\text{[math]}$ ）．

（3）存在
理由：
解法一：
延长BC到点B′，使B′C=BC，连接B′F交直线AC于点M，则点M就是所求的点，
∵过点B′作B′H⊥AB于点H，
∵B点在抛物线y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ 上，
∴B（3，0），
在Rt△BOC中，tan∠OBC= $\text{[math]}$
∴∠OBC=30°，BC=2 $\text{[math]}$
在Rt△B′BH中，B′H= $\text{[math]}$ BB′=2 $\text{[math]}$
BH= $\text{[math]}$ B′H=6，∴OH=3，
∴B′（-3，-2 $\text{[math]}$ ）．
设直线B′F的解析式为y=kx+b，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∴y= $\text{[math]}$ ．
$\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∴M（ $\text{[math]}$ ）
∴在直线AC上存在点M，使得△MBF的周长最小，此时M（ $\text{[math]}$ ）．
解法二：
过点F作AC的垂线交y轴于点H，则点H为点F关于直线AC的对称点，连接BH交AC于点M，则点M
即为所求．
过点F作FG⊥y轴于点G，则OB∥FG，BC∥FH，
∴∠BOC=∠FGH=90°，∠BCO=∠FHG
∴∠HFG=∠CBO
同方法一可求得B（3，0）
在Rt△BOC中，tan∠OBC= $\text{[math]}$

∴∠OBC=30°，可求得GH=GC= $\text{[math]}$
∴GF为线段CH的垂直平分线，可证得△CFH为等边三角形
∴AC垂直平分FH
即点H为点F关于AC对称点，
∴H（0，- $\text{[math]}$ ）
设直线BH的解析式为y=kx+b，由题意得， $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∴y= $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∴M（ $\text{[math]}$ ），
∴在直线AC上存在点M，使得△MBF的周长最小，此时M（ $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）抛物线解析式中有两个待定系数a，c，根据直线AC解析式求点A、C坐标，代入抛物线解析式即可；
（2）分析不难发现，△ABP的直角顶点只可能是P，根据已知条件可证AC²+BC²=AB²，故点C满足题意，根据抛物线的对称性，点C关于抛物线对称轴的对称点也符合题意；
（3）由于B，F是定点，BF的长一定，实际上就是求BM+FM最小，找出点B关于直线AC的对称点B'，连接B'F，交AC于点M，点M即为所求，由（2）可知，BC⊥AC，延长BC到B'，使BC=B'C，利用中位线的性质可得B'的坐标，从而可求直线B'F的解析式，再与直线AC的解析式联立，可求M点坐标．
点评：考查代数几何的综合运用能力，体现数学知识的内在联系和不可分割的特点．

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