Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，AC=CD，BD=

3

．
（1）当∠A为何值时，CD是⊙O的切线？请说明理由；
（2）在（1）的情况下，求图中阴影部分的面积（结果用含根号、π的式子表示）．

Answer 1

分析：（1）连接OC，可用不同的方法证明，根据OA=OC，则∠A=∠C=30°，可求出∠OCD=90°，即CD是⊙O的切线；
（2）可证明△BOC是等边三角形，则∠OCB=60°，可得出∠BCD=∠D，由三角函数CD=OC•tan60°，得出CD的长，因为S_阴影=S_△OCD-S_扇形BOC，所以可得出答案．

解答：解：（1）当∠A=30°时，CD是⊙O的切线．（1分）
理由：连接OC，如图．
方法一：∵OA=OC，∴∠A=∠C=30°
∴∠COD=∠A+∠OCA=60°（2分）
又∵AC=CD，∴∠D=∠A=30°（3分）
∴∠OCD=180°-∠COD-∠D=90°
所以CD是⊙O的切线（4分）
方法二：∵CD是⊙O的切线
∴∠OCD=90°（2分）
∵AC=CD，∴∠D=∠A=30°（3分）
又∵OA=OC，∴∠COD=2∠A=2∠D
∴∠A=30°（4分）

（2）∵OB=OC，∠COD=60°，
∴△BOC是等边三角形，∴∠OCB=60°
∴∠BCD=∠OCD-∠OCB=90°-60°（5分）
∴∠BCD=∠D
∴OC=BC=BD=

3

（6分）．
CD=OC•tan60°=

3

×

3

=3．（7分）
∴S_阴影=S_△OCD-S_扇形BOC=

1

2

×

3

×3-

60×π×( 3 )2

360

=

3 3

2

-

π

2

．（8分）

点评：本题考查了切线的判定和性质、扇形面积的计算以及解直角三角形的内容，比较简单要熟练掌握．