Question

如图1，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠BAC=30°，点D是AC边上一点，BC=DC，以DC为一边作等边三角形DCE．
（1）求证：BD=OE；
（2）将△DCE绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜60°）得到△D₁CE₁（如图2），判断BD₁与OE₁是否相等，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵OA=OB，∠A=30°，
∴OC=AB，BC=AB，
∴OC=BC，
∵∠A=30°，OA=OC，
∴∠A=∠OCA=30°，
∴∠OCB=90°-30°=60°，
∵△DCE是等边三角形，
∴CD=CE，∠DCE=60°=∠OCB，
∴∠OCB+∠OCD=∠DCE+∠OCD，
即∠BCD=∠OCE=90°，
在△BCD和△OCE中

∴△BCD≌△OCE，
∴BD=CE．

（2）解：BD₁与OE₁相等，
理由是：∵△D₁CE是等边三角形，
∴CD₁=CE₁，∠D₁CE₁=60°=∠OCB，
∴∠OCB+∠OCD₁=∠D₁CE₁+∠OCD₁，
即∠BCD₁=∠OCE₁，
在△BCD₁和△OCE₁中

∴△BCD₁≌△OCE₁，
∴BD₁=OE₁．
分析：（1）求出BC=OC，CD=CE，∠BCD=∠OCE，证出△BCD≌△OCE即可；
（2）求出BC=OC，CD₁=CE₁，∠BCD₁=∠OCE₁，证出△BCD₁≌△OCE₁即可．
点评：本题考查了圆周角定理，等腰三角形性质，直径三角形斜边上中线性质，全等三角形性质和判定，等边三角形性质的应用，关键是能推出△BCD≌△OCE，△BCD₁≌△OCE₁．