Question

如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数（k≠0）图象上一点，AB⊥x轴于B点，一次函数y₂=ax+b（a≠0）的图象交y轴于D（0，-2），交x轴于C点，并与反比例函数的图象交于A，E两点，连接OA，若△AOD的面积为4，且tan∠AOB=．
（1）分别求出该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

解：（1）∵S_△AOD=OD•OB=4，D（0，-2），即OD=2，
∴×2×OB=4，即OB=4，
∵AB⊥x轴，tan∠AOB=，
∴在Rt△AOB中，AB=OB•tan∠AOB=4×=2，
∴A（4，2），
将A的坐标代入y₁=得：k=8，
∴y₁=；
将A（4，2）和D（0，-2）代入y₂=ax+b中得：
，
解得：，
∴y₂=x-2；

（2）对于y=x-2，
令y=0，解得：x=2，
∴C（2，0），即OC=2，
∴BC=OB-OC=4-2=2，
∴S_△ABC=AB•BC=×2×2=2．
分析：（1）△AOD是以OD为底，A的横坐标为高的三角形，由D的坐标确定出OD的长，由已知的面积，利用三角形面积公式求出A的横坐标，即为OB的长，在直角三角形AOB中，由tan∠AOB的值，利用锐角三角函数定义求出AB的长，即为A的纵坐标，确定出A的坐标，将A的坐标代入反比例函数解析式中求出k的值，确定出反比例解析式，将A和D的坐标代入一次函数解析式，得到k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）对于一次函数解析式，令y=0，求出对应x的值，即为C的横坐标，确定出C的坐标，得到OC的长，由OB-OC求出BC的长，再由△ABC为直角三角形，由直角边AB与BC乘积的一半即可求出面积．
点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，锐角三角函数定义，以及坐标与图形性质，利用了待定系数法，待定系数法是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．