Question

已知二次函数y=2x²+bx+1（b为常数），当b取不同的值时，对应得到一系列二次函数的图象，它们的顶点都在一条抛物线上，则这条抛物线的解析式是________；若二次函数y=2x²+bx+1的顶点只在x轴上方移动，那么b的取值范围是________．

Answer 1

y=-2x²+1    -2＜b＜2
分析：首先利用b抛物线的顶点坐标，然后变形即可得到所求抛物线的解析式；由二次函数y=2x²+bx+1的顶点只在x轴上方移动且a=2＞0，可知抛物线与x轴没有交点，故△＜0，求出b的取值范围即可．
解答：∵y=2x²+bx+1的顶点坐标是（-，），
设x=-，y=，
∴b=-4x，
∴y===-2x²+1，
若二次函数y=2x²+bx+1的顶点只在x轴上方移动，
∵a=2＞0，
∴抛物线与x轴没有交点，
∴△＜0，即△=b²-8＜0，解得-2＜b＜2．
故答案为：y=-2x²+1；-2＜b＜2．
点评：本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点坐标及根的判别式是解答此题的关键．