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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

    如图，已知抛物线y=x22x＋1的顶点为P，A为抛物线与y轴的交点，过A与y轴垂直的直线与抛物线的另一交点为B，与抛物线对称轴交于点O′，过点B和P的直线l交y轴于点C，连结O′C，将△ACO′沿O′C翻折后，点A落在点D的位置．

    (1) 求直线l的函数解析式；

    (2) 求点D的坐标；

    (3)抛物线上是否存在点Q，使得S△DQC= S△DPB? 若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

    ．(1) 配方,得y=(x2)2 1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点为P(2，1) ．

    取x=0代入y=x2 2x＋1，得y=1，∴点A的坐标是(0，1)．由抛物线的对称性知，点A(0，1)与点B关于直线x=2对称，∴点B的坐标是(4，1)．

    设直线l的解析式为y=kx＋b(k≠0)，将B、P的坐标代入，有

    解得∴直线l的解析式为y=x3．

    (2) 连结AD交O′C于点E，∵ 点D由点A沿O′C翻折后得到，

    ∴ O′C垂直平分AD．

    由(1)知，点C的坐标为(0，3)，∴ 在Rt△AO′C中，O′A=2，AC=4，∴ O′C=2．

    据面积关系，有 ×O′C×AE=×O′A×CA，∴ AE=，AD=2AE=．

    作DF⊥AB于F，易证Rt△ADF∽Rt△CO′A，∴，

    ∴ AF=?AC=，DF=?O′A=，

    又 ∵OA=1，∴点D的纵坐标为1= ，∴ 点D的坐标为(，)．

    (3) 显然，O′P∥AC，且O′为AB的中点，

    ∴ 点P是线段BC的中点，∴ S△DPC= S△DPB ．

    故要使S△DQC= S△DPB，只需S△DQC=S△DPC ．

    过P作直线m与CD平行，则直线m上的任意一点与CD构成的三角形的面积都等于S△DPC ，故m与抛物线的交点即符合条件的Q点．

    容易求得过点C(0，3)、D(，)的直线的解析式为y=x3，

    据直线m的作法，可以求得直线m的解析式为y=x．

    令x22x＋1=x，解得 x1=2，x2=，代入y=x，得y1= 1，y2=，

    因此，抛物线上存在两点Q1(2，1)(即点P)和Q2(，)，使得S△DQC= S△DPB．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点精英家教网C（0，3）．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）求直线BC的函数解析式；
    （3）在抛物线上，是否存在一点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
    （4）点Q是直线BC上的一个动点，若△QOB为等腰三角形，请写出此时点Q的坐标．（可直接写出结果）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）精英家教网、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
    （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
    （2）在抛物线的对称轴x=1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=-1．
    （1）求抛物线对应的函数关系式；
    （2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
    ①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
    ②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
    （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
    （2）点P是抛物线对称轴上一点，若△PAB∽△OBC，求点P的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点是（-1，-4），且与x轴交于A、B（1，0）两点，交y轴于点C；
    （1）求此抛物线的解析式；
    （2）①当x的取值范围满足条件
    -2＜x＜0
    -2＜x＜0
    时，y＜-3；
         ②若D（m，y1），E（2，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，求实数m的取值范围；
    （3）直线x=t平行于y轴，分别交线段AC于点M、交抛物线于点N，求线段MN的长度的最大值；
    （4）若以抛物线上的点P为圆心作圆与x轴相切时，正好也与y轴相切，求点P的坐标．

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