Question

已知正方形ABCD的边长为12，E，F分别是AD，CD上的点，且EF=10，∠EBF=45°，则AE的长为________．

Answer 1

6或4
分析：延长DA到M点，使MA=FC，连接BM，通过求证△ABM≌△CBF，推出∠CBF=∠ABM，BF=BM，再根据∠EBF=45°，依据正方形的性质可得∠ABE+∠CBF=45°，通过等量代换即可推出∠EBM=45°，根据全等三角形的判定定理（SAS），求证△FBE≌△MBE，求出EM=EF=10，然后根据CD=DA=12，设AE=x，FC=y，则DF=12-y，DE，=12-x，由Rt△DEF，依据勾股定理可推出（12-x）²+（12-y）²=10²，题意列出方程组，通过解方程组即可求出x的值，即AE的长度．
解答：解：延长DA到M点，使MA=FC，连接BM，
∵正方形ABCD的边长为12，
∴AB=BC=CD=DA=12，∠D=∠C=∠CBA=∠DAB=90°，
∴∠BAM=90°，
∵在△ABM和△CBF中，
，
∴△ABM≌△CBF（SAS），
∴∠CBF=∠ABM，BF=BM，
∵∠EBF=45°，
∴∠ABE+∠CBF=45°，
∴∠ABE+∠ABM=45°，即∠EBM=45°，
在△FBE和△MBE中，
，
∴△FBE≌△MBE（SAS），
∴EM=EF，
∵EF=10，
∴DF²+DE²=EF²，
AE+AM=10，
设AE=x，FC=y，
则DF=12-y，DE=12-x，
∴，
∴整理方程组得，
∴把①代入②得：x²-10x+24=0，
∴（x-4）（x-6）=0，
∴x₁=6，x₂=4，
∴AE=6或AE=4．
故答案为6或者4．
点评：本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，关键在于正确的做出辅助线，根据相关线段的数量关系和勾股定理推出二元二次方程组，正确的解方程即可．