Question

已知，如图，抛物线y＝ax²＋bx＋c(a≠0)经过x轴上的两点A(x₁，0)、B(x₂，0)和轴上的点C(0，)，⊙P的圆心P在y轴上，且经过B、C两点，若，AB＝，

(1)求抛物线的解析式；

(2)D在抛物线上，且C、D两点关于抛物线的对称轴对称，问直线BD是否经过圆心P？并说明理由；

(3)设直线BD交⊙P于另一点E，求经过点E的⊙P的切线的解析式．

Answer 1

答案：
解析：

解(1)依题意得，则＋＝，＝ 　　又∵∣－∣＝，即＝ 　　∴，解得 　　∴抛物线的解析式为 　　(2)由(1)得抛物线 　　令y＝0，则，解得， 　　∴A(，0)，B(，0) 　　又C(0，)，C、D两点关于直线x＝对称，∴D(，) 　　设经过B、D两点的直线解析式为 　　解得， 　　∴ 　　设⊙P与y轴相交的另一点是M(0，m)圆心P(0，n) 　　则，∴，∴，∴P(0，) 　　∵点P(0，)的坐标满足 　　∴直线BD经过圆心P． 　　(3)设BD交⊙P于另一点E，过E作BF⊥y轴于F得：△OPB≌△FPE 　　∴PF＝OP＝，∴E(，－1) 　　设经过E的⊙P的切线为l，交y轴于Q，则∠PEQ＝90°，EF⊥PQ 　　∴，即，∴FQ＝，Q(0，) 　　设l的解析式为，∵l经过点E、Q 　　∴，，∴ 　　∴经过E点的⊙P的切线解析式是．