Question

已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，点P在AC上，且∠MPN=90°，当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时（如图1），过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，可证△PME∽△PNF，得出PN=PM，（不需证明）当PC=PA，点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请写出线段PN、PM之间的数量关系，并任选取一给予证明。

Answer 1

解：（1）如图2，如图3中都有结论：PN=PM
选如图2：在Rt△ABC中，过点P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于点F
∴四边形BFPE是矩形
∴∠EPF=90°，
∵∠EPM+∠MPF=∠FPN+∠MPF=90°
可知∠EPM=∠FPN
∴△PFN∽△PEM
∴=
又∵Rt△AEP和Rt△PFC中：∠A=30°，∠C=60°
∴PF=PC，PE=PA
∴==
∵
∴
即PM。