Question

如图，半圆O为△ABC的外接圆，AC为直径，D为劣弧BC上一动点，P在CB延长线上，且满足∠BAP=∠BDA，
（1）求证：AP为⊙O切线；
（2）若四边形ABDO为菱形，求证：BD²=BE•BC．

Answer 1

解：（1）∵∠BDA和∠BCA为同弧所对的圆周角，
∴∠BDA=∠BCA．
又AC为直径，
∴∠ABC=90°．
即∠ACB+∠BAC=90°．
又∠BAP=∠BDA，
∴∠BAP+∠BAC=90°．
即AP为切线．

（2）∵四边形ABDO为菱形，
∴AB=BD．
∴∠BAD=∠BDA．
又∵∠BDA和∠BCA为同弧所对圆周角，
∴∠BDA=∠BCA．
∴∠BAD=∠BDA=∠BCA．
∵∠ABC=∠EBA，
∴△ABC∽△EBA．
∴．
∵AB=BD．
∴．
即BD²=BE•BC．
分析：（1）因为∠BDA和∠BCA为同弧所对的圆周角，所以相等，又AC为直径，所以∠ABC=90°，即∠ACB+∠BAC=90°，又∠BAP=∠BDA，所以∠BAP+∠BAC=90°，即AP为切线．
（2）证BD²=BE•BC，即，而若四边形ABDO为菱形，那么AB=BD，所以有，即证△ABC∽△ABE即可，
点评：此题综合考查了切线的判定以及相似三角形的判定方法的运用．