Question

11．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的两个顶点A，B在第二象限，BC交x轴于点D．
（1）如图①，若点A的坐标为（-1，3），求点B的坐标；
（2）如图②，若E为AB上一点，DE与OA的延长线交于点G，且DG=OG，求∠DOE的度数．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作AE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F，连接AC、OB，AC与OB交于点K．由△AEO≌△OFC，推出AE=OF=1，OE=CF=3，推出C（-3，-1），由AK=KC，BK=OK，设B（m，n），则有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m+0}{2}=\frac{-1-3}{2}}\\{\frac{n+0}{2}=\frac{3-1}{2}}\end{array}\right.$，解方程组即可解决问题．
（2）如图2中，作OH⊥DE于H．首先证明∠ODH=∠ODC，由OH⊥DE，OC⊥DC，推出OH=OC=OA，易证Rt△ODH≌Rt△ODC，Rt△OEA≌Rt△OEH，推出∠DOC=∠DOH，∠EOH=∠EOA，可得∠DOE=$\frac{1}{2}$∠AOC=45°．

解答 解：（1）如图1中，作AE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F，连接AC、OB，AC与OB交于点K．

∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠AOE+∠COF=90°，∠COF+∠OCF=90°，
∴∠AOE=∠COF，∵∠AEO=∠CFO=90°，
∴△AEO≌△OFC，
∴AE=OF=1，OE=CF=3，
∴C（-3，-1），
∵AK=KC，BK=OK，设B（m，n），则有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m+0}{2}=\frac{-1-3}{2}}\\{\frac{n+0}{2}=\frac{3-1}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-4}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴B（-4，2）．

（2）如图2中，作OH⊥DE于H．

∵DG=OG，
∴∠GDO=∠GOD，
∵OA∥BC，
∴∠GOD=∠CDO，
∴∠ODH=∠ODC，∵OH⊥DE，OC⊥DC，
∴OH=OC=OA，
易证Rt△ODH≌Rt△ODC，Rt△OEA≌Rt△OEH，
∴∠DOC=∠DOH，∠EOH=∠EOA，
∴∠DOE=$\frac{1}{2}$∠AOC=45°．

点评 本题考查正方形的性质、坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质、中点坐标公式、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．