Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=．
（1）证明：CA平分∠BCD；
（2）若tanB=2，求边BC的长．

Answer 1

（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB
∵AD=DC，
∴∠DAC=∠DCA
∴∠DCA=∠ACB，
即CA平分∠BCD；

（2）解：如图，作AF⊥BC，DG⊥BC，垂足分别为F，G，
在Rt△AFB中，∵tanB=2，
∴AF=2BF，
又∵AB=，且AB²=AF²+BF²，
∴5=4BF²+BF²，
解得BF=1，
同理可知，在Rt△DGC中，CG=1，
∴BC=BF+FG+GC=2+．
分析：（1）根据AD=DC得到∠DAC=∠ACD，再根据AD∥BC得到∠DAC=∠ACB，所以∠DCA=∠ACB，即CA平分∠BCD；
（2）根据等腰梯形的性质，过上底两顶点向下底作垂线，垂足分别为F、G，根据tanB=2得到AF=2BF，再利用勾股定理即可求出BF的长，同理求出CG，BC长度即可求出．
点评：（1）利用平行线的性质和等边对等角的性质得到角相等，根据角平分线的定义即可得证；
（2）主要考查等腰梯形的一种辅助线“过上底两顶点作梯形的高”，梯形的问题正确作辅助线是解题的关键．