Question

6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG．求证：
（1）AF=CG；
（2）DG=CF；
（3）直接写出CF与DE的数量关系．

Answer 1

分析 （1）要证AF=CG，只需证明△AFC≌△CBG即可；
（2）连接AG，证明△ACG≌△BCG，得出AG=BG，再证出∠D=∠GAD，得出AG=DG，从而证出DG=CF；
（3）延长CG交AB于H，则CH⊥AB，H平分AB，继而证得CH∥AD，得出DG=BG和△ADE与△CGE全等，从而证得CF=2DE．

解答 证明：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，CG平分∠ACB，
∴∠CAF=∠CBA=45°，∠BCG=∠ACG=45°，
∴∠BCG=∠CAF=45°
∵∠CBG=∠ACF，AC=BC
∴△BCG≌△CAF，
∴AF=CG；

（2）连接AG，如图1所示：
在△ACG与△BCG中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACG=∠BCG}\\{CG=CG}\end{array}\right.$，
∴△ACG≌△BCG，
∴AG=BG，
∴∠GBA=∠GAB，
∵AD⊥AB
∴∠D=90°-∠GBA=90°-∠GAB=∠GAD，
∴AG=DG．
∵由（1）BG=CF，
∴DG=CF；

（3）如图2，延长CG交AB于H，
∵CG平分∠ACB，AC=BC，
∴CH⊥AB，CH平分AB，
∵AD⊥AB，
∴AD∥CG，
∴∠D=∠EGC，
在△ADE与△CGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠CEG}\\{∠D=∠EGC}\\{AE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CGE（AAS），
∴DE=GE，
即DG=2DE，
∵AD∥CG，CH平分AB，
∴DG=BG，
∵△AFC≌△CBG，
∴CF=BG，
∴CF=2DE．

点评 本题考查了三角形全等的判定和性质、等腰三角形的性质、平行线的判定及性质，三角形全等是解本题的关键．