Question

如图，PA为⊙O的切线，B、D为⊙O上的两点，如果∠APB=60°，∠ADB=60°．
（1）试判断直线PB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如果D点是优弧AB上的一个动点，当PA=且四边形ADBP是菱形时，求扇形OAMD的面积．

Answer 1

解：（1）直线PB与⊙O相切．理由如下：
如图1，连接OP、OB、OA．
∵∠ABD=60°，
∴∠AOB=2∠ADB=120°．
又∵∠APB=60°，
∴∠APB+∠AOB=180°，
∴点P、B、O、A四点共圆，
∴∠PBO+∠PAO=180°．
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAO=90°，
∴∠PBO=90°，即OB⊥PB．
又∵OB是⊙O的半径，
∴直线PB与⊙O相切；

（2）如图2，连接AB、PD、OA．
∵四边形ADBP是菱形，
∴PD⊥AB，
∴由垂径定理知，直线PD经过圆心O，
∴∠DPA=∠BPA=30°．
又∵∠PAO=90°，PA=，
∴∠DOA=120°，OA=PA•tan∠DPA=6×=6，
∴S_扇形OAMD===12π；
分析：（1）连接OB．利用圆内接四边形的判定与性质、圆周角定理证得⊥PB，即直线PB与⊙O相切；
（2）如图2，连接AB、PD、OA．由菱形的两条对角线互相垂直、垂径定理证得点P、O、D三点共线；然后由菱形的对角线平分对角的性质、三角形外角定理推知扇形OAMD的圆心角
∠DOA=120°；最后利用扇形面积公式求解即可．；
点评：本题考查了圆周角定理，切线的判定与性质以及扇形面积的计算等知识点．证明（1）中直线PB与⊙O相切时，借用了圆内接四边形的判定与性质．