Question

如图，直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA∥BC，D是BC上一点，BD＝OA＝，AB＝3，∠OAB＝45°，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF＝45°．

(1)直接写出D点的坐标；

(2)设OE＝x，AF＝y，试确定y与x之间的函数关系；

(3)当△AEF是等腰三角形时，将△AEF沿EF折叠，得到△，求△与五边形OEFBC重叠部分的面积．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)D点的坐标是　　(2分) 　　(2)连结OD，如图，由结论(1)知：D在∠COA的平分线上，则 　　∠DOE＝∠COD＝45°，又在梯形DOAB中，∠BAO＝45°，∴OD＝AB＝3 　　由三角形外角定理得：∠1＝∠DEA－45°，又∠2＝∠DEA－45° 　　∴∠1＝∠2，∴△ODE∽△AEF　　(4分) 　　∴，即： 　　∴y与x的解析式为： 　　　　(6分) 　　(3)当△AEF为等腰三角形时，存在EF＝AF或EF＝AE或AF＝AE共3种情况 　　①当EF＝AF时，如图．∠FAE＝∠FEA＝∠DEF＝45°， 　　∴△AEF为等腰直角三角形．D在E上(E⊥OA)， 　　B在F上(F⊥EF) 　　∴△EF与五边形OEFBC重叠的面积为 　　四边形EFBD的面积． 　　∵ 　　∴ 　　 　　∴ 　　∴(也可用)　　(8分) 　　②当EF＝AE时，如图，此时△EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△EF面积 　　∠DEF＝∠EFA＝45°，DE∥AB，又DB∥EA 　　∴四边形DEAB是平行四边形 　　∴AE＝DB＝ 　　∴ 　　　　(10分) 　　③当AF＝AE时，如图，四边形AEF为菱形且△EF在五边形OEFBC内 　　∴此时△EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△EF面积 　　由(2)知△ODE∽△AEF，则OD＝OE＝3 　　∴AE＝AF＝OA－OE＝ 　　过F作FH⊥AE于H，则 　　 　　∴ 　　综上所述，△EF与五边形OEFBC重叠部分的面积为或1或　　(12分)