Question

如图，在△ABC中，∠ACB=2∠B．
（1）根据要求作图：（不写作法，保留作图痕迹）
①作∠ACB的平分线交AB于D；
②过D点作DE⊥BC，垂足为E．
（2）在（1）的基础上写出一对全等三角形，并加以证明．

Answer 1

解：（1）如图所示：
①CD平分∠ACB；
②DE⊥BC，垂足为E；


（2）△BDE≌△CDE，理由如下：
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCE=∠ACB，
又∵∠ACB=2∠B，
∴∠DCE=∠B，
∴BD=CD．
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=∠DEB=90°．
在Rt△BDE与Rt△CDE中，
，
∴△BDE≌△CDE（HL）．
分析：（1）①以点C为圆心，适当长为半径画弧，交CA、CB于两点，以这两点为圆心，大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，作过这点和点C的直线交AB于D点，则CD平分∠ACB；
②由于∠B=∠BCD，可知△DBC是等腰三角形，根据等腰三角形顶角的平分线与底边上的高线重合可知：过D点作DE⊥BC，即可作∠BDC的角平分线；
（2）由于∠DEC=∠DEB=90°，BD=CD，DE公共，根据HL易得△BDE≌△CDE．
点评：此题主要考查了画角的平分线，等腰三角形的性质及全等三角形的判定，解题的关键是熟悉基本作图的作图方法，逐步操作．