小明是一位刻苦学习.勤于思考.勇于创新的学生.一天.他在解方程时.突然产生了这样的想法.x2=-1.这个方程在实数范围内无解.如果存在一个数i2=-1.那么方程x2=-1.可以变为x2=i2.则x=±i是方程x2=-1的两个根.小明还发现i具有以下性质:i1=i.i2=-1.i3=i2·i=(-1)i=-i.i4=(i2)2=(-1)2=1.i5=i4·i=i 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的学生，一天，他在解方程时，突然产生了这样的想法，x²=-1，这个方程在实数范围内无解，如果存在一个数i²=-1，那么方程x²=-1，可以变为x²=i²，则x=±i是方程x²=-1的两个根，小明还发现i具有以下性质：
i¹=i，i²=-1，i³=i²·i=（-1）i=-i，i⁴=（i²）²=（-1）²=1，i⁵=i⁴·i=i，i⁶=（i²）³=（-1）³=-1，i⁷=i⁶·i=-i，i⁸=（i⁴）²=1，…
请观察上述等式，根据你发现的规律填空：
i⁴ⁿ⁺¹=———，i⁴ⁿ⁺²=________，i⁴ⁿ⁺³=_______（n为自然数）。

解：“略”。

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科目：初中数学 来源： 题型：

20、小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学，一天他在解方程x²=-1时，突发奇想：x²=-1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i²=-1，那么x²=i²，则x=±i，从而x=±i是方程x²=-1的两个根．
（1）据此可知：i³=i²•i=-i，i⁴=

，i⁴²=

-1

；
（2）解方程：x²-2x+2=0（根用i表示）．

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30、小明是一位刻苦学习，勤于思考的同学，一天，他在解方程时突然产生了这样的想法，x²=-1，这个方程在实数范围内无解，如果存在一个数i²=-1，那么方程x²=-1可以变成x²=i²，则x=±i，从而x=±i是方程x²=-1的两个解，小明还发现i具有以下性质：
i¹=i，i²=-1，i³=i²•i=-i；i⁴=（i²）²=（-1）²=1，i⁵=i⁴•i=i，i⁶=（i²）³=（-1）³=-1，i⁷=i⁶•i=-i，i⁸=（i⁴）²=1，…
请你观察上述等式，根据你发现的规律填空：i⁴ⁿ⁺¹=

，i⁴ⁿ⁺²=

-1

，i⁴ⁿ⁺³=

-i

，i⁴ⁿ⁺⁴=

（n为自然数）．

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11、小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学，一天他在解方程x²=-1时，突发奇想：x²=-1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i²=-1，那么若x²=-1，则x=±i，从而x=±i是方程x²=-1的两个根．据此可知：①i可以运算，例如：i³=i²•i=-1×i=-i，则i²⁰¹¹=

-i．

，②方程x²-2x+2=0的两根为

1±i．

（根用i表示）

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8、小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创造的同学．一天，他在解方程时，突然产生了这样的想法，x²+1=0这个方程虽然在实数范围内无解，但是，假如存在这样一个数i，使i²=-1，那么方程x²+1=0可以变为x²=i²，则x=±i是方程x²+1=0两个根．小明还发现i具有如下性质：
i¹=i；i²=-1；i³=i²×I=（-1）×i=-i；i⁴=（i²）²=（-1）²=1；i⁵=i⁴×i=i；i⁶=（i²）³=（-1）³=-1；i⁷=i⁶×i=-i；i⁸=（i⁴）²=1…，请你观察上述各式，根据你发现的规律填空：i⁴ⁿ⁺¹=

，i⁴ⁿ⁺²=

-1

，i⁴ⁿ⁺³=

-i

（n为自然数）．

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小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学。一天，他在解方程时，突然产生了这样的想法：