Question

如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=3，点E为BC边上的动点（点E与点B、C不重合），设BE=x．
操作：在射线BC上取一点F，使得EF=BE，以点F为直角顶点、EF为边作等腰直角三角形EFG，设△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积为S．
（1）求S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）S是否有最大值？若存在，请直接写出最大值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）①当0＜x≤1时，FG=EF=x＜1=AB（如图1），
∴S=EF•FG=x²（0＜x≤1）；
②当1＜x≤1.5时，FG=EF=x＞1=AB（如图2），
设EG与AD相交于点M，FG与AD相交于点N，
∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴∠GNM=∠GEF=45°，∠GNM=∠GFE=90°
∴∠MGN=45°
∴MN=GN=x-1
S=（MN+EF）FN=x-（1＜x≤1.5）；
③当1.5＜x≤2时，（如图3），设EG与AD相交于点M，AD的延长线与FG相交于点N，
∵四边形ABCD是矩形
∴AN∥BF
同理MN=GN=x-1
∵∠FNM=∠GFE=∠DCF=90°
∴四边形DCFN是矩形
DN=CF=BF-BC=2x-3，
MD=MN-DN=（x-1）-（2x-3）=2-x
S=（MD+EC）CD=-x+（1.5＜x≤2）
④当2＜x＜3时，（如图4），
设EG与CD相交于点M
∵四边形ABCD是矩形，△EFG是等腰直角三角形，
∴∠MCE=90°，∠MEC=45°=∠CME
∴CM=CE=3-x
∴S=CE•CM=x²-3x+（2＜x＜3）；

（2）存在，其最大值为1．
分析：（1）本题要分情况进行讨论：
①当EF≤CD，即当0＜x≤1时，重合部分是△EFG，两直角边的长均为x，由此可得出S，x的函数关系式．
②当CD＜EF≤BC，即当1＜x≤1.5时，重合部分是个梯形，可用相似三角形求出梯形的上底的长，进而根据梯形的面积计算公式得出S，x的函数关系式．
③当EF＞BC，但D在EG上或EG右侧，即当1.5＜x≤2时，此时重合部分是个梯形，如果设EG与AD相交于点M，AD的延长线与FG相交于点N，可先在相似三角形GMN和GEF中求出MN的长，而后根据MD=MN-DN求出梯形的上底长，进而可按梯形的面积计算公式得出S，x的函数关系式．
④当EF在D点右侧时，即当2＜x＜3时，重合部分是个三角形，先用x表示出两直角边的长，然后按①的方法进行求解即可．
（2）按上面分析的四种情况，分别进行求解，得出不同自变量的取值范围内S的最大值，然后进行比较即可得出S的最大值．
点评：本题主要考查了矩形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形、一次函数与二次函数的综合应用等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．