Question

已知，如图，点C在线段AB上，在AB的同旁作等边△ADC和等边△BCE，连接AE、BD交CD、CE于M、N，
（1）求证：AE=BD；
（2）求证：△CMN为等边三角形；
（3）如果把△BEC绕着C点旋转任意角度，上述结论中哪些成立？试说明理由。

Answer 1

（1）证明：
∵等边△ADC和△BCE，
∴AC=CD，BC=CE，∠DCA=∠ECB=60°，
∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，
∴∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=BD。
（2）证明：∵△ACE≌△DCB，
∴∠DBC=∠AEC，
∵∠DCE=180°﹣∠ACD﹣∠BCE=60°=∠BCE，
在△EMC和△BNC中，
∴△EMC≌△BNC，
∴CM=CN，
∵∠MCN=60°，
∴△CMN是等边三角形。
（3）结论（1）成立，理由是：
不论旋转多少度，AC=CD，BC=CE，∠DCA=∠ECB=60°，推出∠ACE=∠BCD，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=BD。